Serie Fibonacci

Las series de Fibonacci fueron bautizadas en honor del italiano por el teórico francés Edouard Lucas, porque este tipo de sucesiones numéricas forman parte de un problema bastante sencillo del Liber abaci.

La sucesión de Fibonacci es una de las progresiones matemáticas más conocidas y con gran variedad de aplicaciones en arquitectura, geometría, computación, teoría de juegos, matemáticas y sorprendentemente la naturaleza misma la utiliza —chequen los espirales de los caracoles—.
Sin entrar mucho al tema, la sucesión se basa en sumar los dos últimos resultados, donde el primero es 0 y el segundo es 1, para sacar el tercero es el primero más el segundo, el cuarto es el segundo más el tercero y así hasta el infinito, de forma que los 10 primeros números son 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34.

respondiendo a la fórmula

F= Fn-1 + Fn-2

Las aplicaciones de los números de Fibonacci son también, al parecer, infinitas: se utilizan en generación de números al azar, en la búsqueda de valores máximos y mínimos de funciones complejas de las que se ignora la derivada, en trabajos de clasificación de datos, en recuperación de información en computadoras, y mil etcéteras más.


Los fractales son series de Fibonacci

Entre las muchas curiosidades de las Fibonacci, una de las más extrañas propiedades de las mismas es que la razón entre cada par de números consecutivos va oscilando por encima y por debajo de la razón áurea, y que a medida que avanzamos en la serie, la diferencia de la razón de Fibonacci con la razón áurea se va haciendo cada vez menor. En teoría, cuando llegásemos al último par de números, resultaría

¥ / ¥-1 = 1,61803…

que es, precisamente, la razón áurea. La razón áurea es un célebre número irracional (como pi, sus cifras decimales no parecen terminar jamás).

La afirmación anterior se demuestra fácilmente. En nuestro ejemplo,

3 / 2 = 1,5

bastante por debajo de la razón áurea. Pero

5 / 3 = 1,66

algo por encima, pero menos que antes. Si seguimos veremos que

8 / 5 = 1,6 ; 13 / 8 = 1,625 ; 21 / 13 = 1,6153 y 34 / 21 = 1,61904

, lo cual ya se acerca bastante.

Las extrañas apariciones de las series de Fibonacci y de la razón áurea han dado lugar a interminables especulaciones y análisis y, por supuesto, a una abundante bibliografía. Sabemos que los caparazones espirales de muchos caracoles se rigen por ella, como ciertas proporciones de la anatomía humana, animal y vegetal. También se han hallado manifestaciones de estas entidades en las artes plásticas, la arquitectura y la poesía. Varios bardos romanos, especialmente Virgilio en la Eneida, parecen haber utilizado las series de Fibonacci en la estructura de sus obras poéticas.

En las ciencias naturales, es bien conocida la estructura de Fibonacci en la disposición de las semillas en los girasoles. Las semillas, ubicadas en la gran parte central de las flores, tienen una implantación en espiral: hay dos grupos de espirales, gobernadas por dos funciones logarítmicas. Un grupo gira en sentido horario y otro en el antihorario. La cantidad de espirales logarítmicas en cada grupo sigue números de Fibonacci consecutivos.

 
Disposición de Fibonacci de las semillas del girasol

Las abejas también tienen relación con las series de Fibonacci: si se observan las celdas hexagonales de una colmena y se coloca a una abeja en una cualquiera de ellas, y se le permite alimentar a la larva, suponiendo que continuará siempre por la celda contigua de la derecha, veremos que hay sólo una ruta posible para la siguiente celdilla; dos hacia la segunda, tres hasta la tercera, cinco hasta la cuarta, ocho rutas posibles hacia la quinta, etcétera.

Y, ya que estamos a ello, diremos que los machos o zánganos de la colmena tienen árboles genealógicos que siguen estrictamente una distribución de Fibonacci. En efecto, los machos no tienen padre, por lo que él (1), tiene una madre (1, 1), dos abuelos —los padres de la reina— (1, 1, 2), tres bisabuelos —porque el padre de la reina no tuvo padre— (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5) y ocho tataratatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8).

  
De un rectángulo de Fibonacci se deriva la espiral logarítmica, y de ella los caracoles

También la física parece adorar las sucesiones de Fibonacci. Si se colocan dos láminas planas de vidrio en contacto y se hace que unos rayos luminosos las atraviesen, algunos (dependiendo del ángulo de incidencia) las atravesarán sin reflejarse, pero otros sufrirán una reflexión. El rayo que no sufre reflexión tiene sólo una trayectoria posible de salida; el que sufre una reflexión tiene dos rutas posibles; el que sufre dos reflexiones, tres trayectorias, el que experimenta tres reflexiones, cinco, y así sucesivamente. Tenemos aquí nuevamente una serie de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8…


La mano humana es, también, una serie de Fibonacci.
La longitud del metacarpo es la suma de las dos falanges proximales;
la longitud de la primera falange es la suma de las dos falanges distales

Si aumentamos el número de reflexiones (n), el número de trayectorias posibles sigue infinitamente una serie de Fibonacci.

Si se toma un grupo de fichas de dominó, de tamaño 2 x 1, la cantidad de maneras de construir rectángulos de tamaño 2 x n será, por supuesto, una serie de Fibonacci. Hay una sola forma de armar un rectángulo de 2 x 1; dos de construir el de 2 x 2; tres de hacer el de 2 x 3, cinco para el de 2 x 4; ocho para el de 2 x 5, etc.

Desde siempre, los matemáticos se vieron perturbados por la relación entre las series de Fibonacci y las de números primos. La pregunta era: ¿puede una sucesión de Fibonacci contener series infinitas de números primos? La respuesta es sí. Si construimos una serie de Fibonacci general, en la cual los dos primeros números son divisibles por un número primo, todos los subsiguientes serán divisibles por el mismo primo a su vez, y toda la serie, por grande que sea, no podrá contener más que un número primo. Esto se conoce desde la Antigüedad.


Verduras de Fibonacci

El postulado negativo era más difícil de probar: ¿Puede existir una serie de Fibonacci que no contenga ningún número primo? Hubo que esperar a que modernamente se inventaran las computadoras para responder a este interrogante. La respuesta es sí. Pueden existir series de Fibonacci sin números primos en absoluto, de hecho existen, y parece haber también una variedad infinita de ellas. Pero no están cerca de nuestra simple serie de números bajos 1, 1, 2, 3, 5… La más pequeña de las series de Fibonacci sin números primos comienza en

1.059.683.225.053.915.111.058.165.141.686.995

y concluye en

1.786.772.701.928.802.632.268.715.130.455.793.

Las peculiaridades de las series de Fibonacci son, en apariencia, infinitas. Son tan atractivas que es fácil caer encandilados bajo su hechizo.

AQUÍ LES DEJO UN VÍDEO UN TANTO INTERESANTE SOBRE EL TEMA.

http://axxon.com.ar/zap/231/c-Zapping0231.htm

http://www.therror.com/weblog/2007/sep/la_secuencia_fibonacci_en_lateralus

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